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历史上有意思的三次数学危机

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导读:罗素悖论:S由一切不是自身元素的集合所组成,那S包含S吗?用通俗一点的话来说,小明有一天说:“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于,它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识,它很简单,却可以轻松摧毁集合理论!
在数学的历史上,有过三次比较重大的危机,第一次是关于无理数的,这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻,第二次数学危机是关于微积分的,是常识跟数学之间的契合的问题;第三次数学危机发生在二十世纪初,这次危机涉及到了数学中最基础的大厦,差点把整个数学理论推翻重来。下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
历史上有意思的三次数学危机
毕达哥拉斯
第一次数学危机发生在公元前500年左右,我感觉跟精确度有关,我们平时用到的数学知识,几乎都只要精确到一定程序就可以了,所以古希腊毕达哥拉斯学派认为,任何一个数都能用a/b的形式来表示,其中a和b都是整数,这些数在数学上有个专有名词叫有理数。但是有一天,有个叫希帕索斯的学者发现,好像不是这么回事,他作了一个这样的假设,就是等腰直角三角形,如果直边都为1,那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。这个证明起来其实很简单,但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说,这完全不能接受,就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样,这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。
纸当然是包不住火的,死了一个希帕索斯,自然会有更多的学者发现√2,√3,√5;第一次数学危机使得纯代数的地位下降,几何学的地位上升,因为几何量不能完全由有理数来表示,但数却完全可以用几何量来表示,从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系,这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。正是因为这次危机,使得东西方数学体系完全走向不同的路,像中国这样的大国,因为没有这次数学危机,就没能完全形成真正的数学体系,尽管很多方面表现得很优秀。
第二次数学危机的发生已经到了十七八世纪,牛顿和莱布尼兹是这次危机的并列第一男主角,第一反派是教会的贝克莱大主教。这次危机的根本问题是微分中关于无穷小的定义,这个无穷小不管是牛大师还是莱大师,对它的定义都很粗糙,甚至于有时候还变来变去,对于一向以严谨著称的数学,显然是很不合适的。
历史上有意思的三次数学危机
微积分的创立者牛顿跟莱布尼兹
微积分中的最根本的东西就是这个无穷小,像我们古代祖冲之求∏值,就用到了这个原理,就是把圆的周长解想成包围他的两个多边形周长和的一半,这两个多边形的边数越多(边长越短,无穷小),计算得越精确;还有卡瓦列里(伽利略的学生)提出了"点动成线,线动成面,面动成体。"的思想。但是这个无穷小到底是个什么东西,它跟0又是什么关系,一直都没有搞清楚,导致产生了一些很有意思的悖论,像典型的龟免赛跑悖论。说的是龟免,如果乌龟先跑100米,乌龟的速度是免子的一半,那么兔子永远也追不上乌龟,因为等兔子跑完前面一段a时,乌龟又跑了a/2,逻辑上毫无违和感,但事实上正常人都知道这是不可能的。
上网上的关于牛顿对于微分的一次证明
"如果一个物体的运动方程是y=x2(y表示位置,x表示任一时刻),那么它在任一时刻的速率是怎样的?"(脱离开"运动"的概念,将y=x2看作函数也可。)
解:第一步:欲求速度v,有一个求平均速率公式:
历史上有意思的三次数学危机
=s/t(速度等于距离除以时间)
第二步:根据运动方程y=x2我们给出一段"微小"运动时间△x=h;那么这段时间位移量就是
历史上有意思的三次数学危机
第三步:平均速度
历史上有意思的三次数学危机;也就是
历史上有意思的三次数学危机
第四步:
历史上有意思的三次数学危机
历史上有意思的三次数学危机
第五步:消去h得
历史上有意思的三次数学危机=2x+h
第六步:当这个"微小时间增量h趋近于0时,我们就可以把平均速率看成瞬时速率v"那么v=2x+0;
得出结论:瞬时速率v=2x
这样,只要给出任意时刻x,我们就可以很方便的求出任意时刻的瞬时速率v了!
但是,以上计算出现了一个明显的逻辑悖论--"微小量h"是什么?
"如果h是0,那么第三步中不能做分母;如果h不是0,第六步怎么又等于0了?"
对于微积分,我前段时间有个想法,就是把它跟物理学的量子力学联系起来,用来解释量子力学中某些经典力学不能解释的现象,像测不准原理。点动为线,线动为面,那么量子力学中微小粒子测不准是不是也是因为跟我们不在一个维度上面,所以它的数据我们测量得不精确,而并不是真正意义上的测不准。像f(x)=2x,那么它的积分公式将是f(x)=x的平方+h,其中h为一个常量,但这个常量是多少,需要具体问题具体分析。不过因为我水平有限,一直没能理明白,到底是否真实存在联系。
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